Jest twórcą (odkrywcą) obiektu matematycznego, o którym każdy słyszał, a sam obiekt stał się też inspiracją do powstania wielu urządzeń i nawet zabawek– już to sprawia, że nasz bohater jest niezwykły.
Dzisiaj obchodzimy 230. rocznicę urodzin niemieckiego astronoma i matematyka. O Auguście Ferdinandzie Möbiusie (i jego dokonaniach) pisze Wojciech Kryszak.
Astronomiczna kariera
Zanim przejdziemy do jego wstęgi – bo tak nazywamy ten obiekt – warto przypomnieć, że Möbius, który znany jest dziś (przede wszystkim) z osiągnięć matematycznych, swą karierę naukową zaczynał i zbudował jako astronom.
Nie był wyjątkiem. Na swej drodze edukacji spotkał wielu znakomitych astronomów zajmujących się również matematyką (lub odwrotnie), najsłynniejszy z nich to sam Gauss.
Intuicja matematyczna i pracowitość Möbiusa zaowocowały w dalszych latach wieloma osiągnięciami matematycznymi, a obiektów które jego osobę upamiętniają jest kilka, jest więc Möbiusa transformacja, funkcja, graf, konfiguracja.
No i wstęga!
Ten obiekt to tzw. “dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna”, nieorientowalna i z brzegiem, a mówiąc prościej jest to pewna powierzchnia, która ma jedną stronę, ale też ma brzeg. Powierzchni jednostronnych znamy wiele, jest taką np. powierzchnia kuli. Co prawda jest to sfera, więc formalnie ma dwie powierzchnie, ale ta wewnętrzna jest cokolwiek niedostępna – dla mrówek chodzących po kuli istnieje tylko jedna powierzchnia.
Powierzchni z brzegiem znamy jeszcze więcej. Jest taką zwykła kartka (a właściwie jej model pomijający jej grubość). Kartka ma jednak dwie powierzchnie, bo mrówka (jeśli jest dość odważna i wygimnastykowana) potrafi przejść przez brzeg kartki na drugą stronę. Albo inaczej mówiąc: na kartce mogą mieszkać dwie mało wygimnastykowane (lub mało odważne) mrówki i nigdy się nie spotkać.
Wstęga Möbiusa to przedziwna powierzchnia, która ma brzeg – przeszkodę nie do przebycia dla mrówek, które nie chcą ryzykować upadku – ale ten brzeg nie jest żadnym ograniczeniem, bo istnieją inne drogi, którymi można się dostać na obszar będący – z pozoru – po drugiej stronie. Dwie żyjące na takiej powierzchni mrówki, mogą się spotkać bez żadnego trudu i ryzyka.
Wstęgę najłatwiej zrobić sklejając odpowiednio krótsze krawędzie paska papieru (po wcześniejszym wykonaniu półobrotu jednej z krawędzi). A co jeśli wstęgę rozetniemy wzdłuż, tj. cięciem przebiegającym równo pomiędzy krawędziami? Czy otrzymamy wtedy dwie wstęgi Möbiusa, tak jak rozcięcie pierścienia daje dwa pierścienie? Mając papierowy model możemy to sprawdzić.
Okazuje się, że otrzymamy wtedy po prostu zamknięty pasek (zwykłą wstęgę), który ma już dwie powierzchnie. Jeśli jednak wykonamy na wstędze Möbiusa cięcie podwójne, tak że będą dwie linie cięcia (równo odległe od krawędzi, np. o 1/3 szerokości), to otrzymamy dwie wstęgi, z których tylko jedna będzie tą Möbiusa. Wniosek z tego taki, że samym cięciem nie uda nam się rozmnożyć wstęg Möbiusa, potrzebny jest do tego również klej.
Problem 5 księstw i kolorowanie map
Pozostałe osiągnięcia matematyczne Möbiusa są dość techniczne (dotyczą m.in. geometrii algebraicznej, analizy zespolonej), ale jest jeszcze pewien upowszechniony przez Möbiusa problem, który można prosto i krótko sformułować: czy można podzielić królestwo na 5 księstw (części) tak, by każde księstwo miało wspólną granicę z każdym z pozostałej czwórki?
Łatwo to zrobić dla 3 księstw, trochę trudniej dla 4, a dla 5 okazuje się to niemożliwe! Gdyby, to było możliwe, to do ładnego (tzn. takiego, że graniczące kraje mają różne kolory) pokolorowania dowolnej mapy politycznej byłoby potrzeba co najmniej 5 kolorów. Pokazuje to, że ten problem jest związany z późniejszą tzw. “hipotezą o kolorowaniu map”. Hipotezą, która w swej pełnej postaci (mówiącej, że 4 kolory wystarczą) udowodniona została dopiero przy pomocy szybkich komputerów – nie wiadomo czy istnieje tradycyjny dowód, taki który dałby się wydrukować, przeczytać i zrozumieć.
Zdj. okładkowe i w tekście: David Benbennick, wikipedia.org, CC BY-SA 3.0
Zdj. w tekście (portret): Adolf Neumann, domena publiczna
Bibliografia:
- August Ferdinand Möbius [online]. Wikipedia : wolna encyklopedia, 2019-09-20 11:23Z [dostęp: 2020-11-17]. Dostępny w Internecie: //https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=August_Ferdinand_M%C3%B6bius&oldid=931466907
- Walters, Mark. “It Appears That Four Colors Suffice: A Historical Overview of the Four-Color Theorem.” (2004)