Liczba Pi to jedna z niewielu liczb, które mają swoje święto. Przypada ono dziś – czternastego marca. Dlaczego dziś? Czyżby dziś była rocznica urodzin jakiegoś matematyka?
O święcie liczby pi, a przede wszystkim o makaronowych metodach wyznaczania jej wartości pisze Wojtek Kryszak.
Nie, powód jest bardziej prozaiczny i wynika z dwóch spraw: z przyjęcia przez ludzi notacji dziesiętnej i z przyjętego sposobu oznaczania dni w roku i zapisywania dat. To pierwsze zawdzięczamy głównie Chińczykom i Arabom, to drugie pochodzić może co najmniej od Sumeryjczyków, choć tak naprawdę, to powód związany jest z Księżycem.
Zapis dzisiejszej daty – szczególnie w notacji przyjętej w wielu krajach na zachodzie – to 3.14, co bardzo przypomina zapis dziesiętny przybliżonej wartości liczby pi, szczególnie jeśli zamiast stosowanego w Polsce przecinka zastosujemy właśnie kropkę – to również jest notacja zachodnia.
Oczywiste jest więc, że gdyby ludzie mieli np. 8 lub 12 palców, lub gdyby Księżyc krążył szybciej lub wolniej w stosunku do obrotów Ziemi, to święto to przypadałoby innego dnia, może na początku wakacji, na koniec roku szkolnego! Niestety, jeszcze nie mamy wakacji, ale dziś lub kiedy indziej – i tak warto poświętować, bo liczba pi jest jedną z najczęściej używanych liczb nieracjonalnych!
Tak, choć brzmi to dziwnie, to angielskie określenie na liczby, które nie mogą być przedstawione jako stosunek dwóch liczb całkowitych – czyli jako zwykły ułamek – to ,,irrational numbers’’ – irrational, bo ratio to inaczej ułamek (lub stosunek, tempo – stąd angielskie rate). Polskie określenie jest nieco mniej tajemnicze – mówimy: liczby niewymierne.
Jedno i drugie określenie jest dobre, oddają one w jakiś sposób to, że liczby takie nie mogą być zamknięte w prostej i bardzo łatwej do zrozumienia – przynajmniej jak już przyzwyczaimy się do ułamków – formule. Nie są to takie eleganckie – lecz nudne – liczby typu -0,5, 3/7, 3/4 itp. – są znacznie ciekawsze i tajemnicze!
Pośród liczb niewymiernych istnieją jednak takie, dla których można podać prosty, tj. krótko sformułowany, sposób wyznaczania ich wartości. Jedną z takich liczb, które mają taki krótki przepis jest właśnie liczba pi. Przepisów takich jest bardzo bardzo wiele.
Przykładowo: kwadrat liczby pi (czyli ) równy jest sześciokrotnej sumie odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych. Wystarczy więc wziąć odpowiednio wiele kolejnych liczb naturalnych, zsumować odwrotności ich kwadratów, pomnożyć przez 6 i spierwiastkować – i mamy odpowiednio dobre przybliżenie liczby pi! A jeśli nie jesteśmy zadowoleni, to wystarczy wziąć kolejne liczby.
Sam powyższy przepis liczył kilkanaście słów, a program komputerowy do takich obliczeń miałby kilka linijek. Problem w tym, że samo liczenie jest bardzo żmudne, nawet dla szybkich komputerów.
Aktualny – przynajmniej na koniec ubiegłego roku – rekord w wyznaczaniu liczby pi należy do Timothy’ego Mullicana, który obliczył tą liczbę aż do 50000000000000 cyfr jej rozwinięcia. Oczywiście nie liczył tego na kartce – liczył jego komputer i zajęło mu to aż 8 miesięcy! To niestety powszechna sytuacja, że mamy jakiś prosty przepis, a do jego skutecznego wykonania trzeba wielu dni i aż superkomputera.
Czasem nawet nie mamy dobrego przepisu na wyznaczenie wartości jakiejś liczby, choć możemy podać jej słowną definicję. Przykładem niech będzie liczba Omega Chaitina. Ta i podobne liczby nieobliczalne (!) są jednak tak tajemnicze, że nie będziemy teraz nimi się zajmować. Wróćmy do liczby pi. Są ciekawsze niż komputerowe sposoby na jej wyznaczanie.
Najciekawsze są sposoby eksperymentalne. Pomyślmy: znając pi możemy łatwo obliczyć pole koła. Ale i odwrotnie, jeśli znamy pole koła i znamy jego promień, to możemy łatwo wyznaczyć samą liczbę pi. Oczywiście: nigdy nie zmierzymy idealnie ani pola ani promienia, ale im dokładniej to zrobimy, tym lepszą wartość pi otrzymamy.
Jak zmierzyć promień, czyli pół średnicy? To łatwe, przykładamy linijkę do jakiegoś koła, tak by przechodziła przez środek i mierzymy! Gorzej z tym polem. Pole kwadratu jest łatwe: mnożymy jeden i drugi bok i mamy odpowiedź. Ale z kołem tak się nie uda.
Wpiszmy jednak to koło w kwadrat. I zdajmy się na przyrodę, ona policzy pole za nas! Wystarczy jej to umożliwić, a jest na to bardzo wiele sposobów. Możemy np. wyciąć z papieru kwadrat, zważyć, po czym wyciąć z niego to wpisane koło i też zważyć. Stosunek wag odpowiadać będzie stosunkowi pól! Tym lepiej wyznaczymy więc pole, im dokładniej tniemy, im papier jest lepszy i im mamy lepszą wagę.
Inna metoda, to gra w rzutki! Przygotowujemy tarczę będącą kwadratem, w który wpisujemy koło. Stajemy teraz bardzo bardzo daleko od tarczy i rzucamy do niej rzutkami. Musimy stać naprawdę daleko, by tylko z rzadka trafiać w tarczę. Rzucamy tak długo, by trafić w tarczę kilkaset razy, powiedzmy 900.
Teraz wystarczy policzyć ile z tych trafień w kwadratową tarczę ulokowało się wewnątrz koła. Stosunek liczby wszystkich trafień w kwadratową tarczę (u nas 900), do liczby trafień we wpisane koło (w zilustrowanym powyżej eksperymencie to 709) da nam przybliżony stosunek pól kwadratu i tego koła!
Taka metoda należy do kategorii metod losowych, zwanych “metodami Monte Carlo”. Metody tego typu po raz pierwszy znalazły zastosowanie w obliczeniach komuterowych przeprowadzanych w ramach projektu opracowania broni termojądrowej. Pomysł pochodził od – wspominanego niedawno w naszych ciekawostkach – niezwykle utalentowanego Węgra Johna von Neumanna, oraz od pracującego z nim w USA Polaka Stanisława Ulama. Dziś takie metody są bardzo popularne i stosuje się je w wielu sytuacjach, np. w analizowaniu skomplikowanych modeli numerycznych, co jest bardzo pomocne dla inżynierów rozmaitych specjalności.
Metoda rzutek jest bardzo pracochłonna i choć można ją uczynić łatwiejszą i szybszą, to my zastosujemy inną metodę. Posłużymy się makaronem spaghetti, ugotowanym, ale jeszcze bez sosu, takim jak ten.
O co tu może chodzić? Pierwsza myśl to taka: weźmy koło i zmierzmy promień (średnicę) a potem owińmy wokół makaron i w ten sposób zmierzmy obwód koła. Tak, to zadziała, choć będzie nudne. No i trzeba będzie uważać by nie naciągać makaronu podczas owijania lub mierzenia.
Ale jest ciekawsza metoda. Weźmy nitkę makaronu, lub kilka o tej samej długości – niech ta długość to będzie L centymetrów. Narysujmy na kartce lub na podłodze, stolnicy czy innej płaskiej powierzchni wiele równoległych i równoodległych linii. Niech odległość między liniami wynosi D centymetrów. Nie jest ważne czy D<L czy na odwrót, ale niech D nie będzie zbyt małe ani zbyt duże.
Teraz trzeba rzucać nitki makaronu na tą powierzchnię i notować sobie 2 rzeczy: łączną liczbę wyrzuconych nitek (jeśli rzucamy za każdym razem jedną nitką, to jest ona równa liczbie przeprowadzonych prób, a jeśli np. dwiema, to podwojonej liczbie prób) oraz liczbę takich zdarzeń, że nitka przecięła którąś linię. Jeśli np. w kolejnej próbie rzucimy 3 nitkami i pierwsza upadnie między liniami, druga przetnie jakąś linię jeden raz i na żadną inną nie upadnie, a trzecia przetnie jedną linię dwukrotnie i przejdzie jeden raz przez jeszcze inną, to musimy zwiększyć liczbę rzutów o 3, a liczbę przecięć o 4.
Tu podobny eksperyment, ale makaron jest nieugotowany, a dla wygody zastępują go zapałki. Dla sztywnych makaroników lub zapałek lub igieł procedura taka nosi nazwę: ,,igła Buffona’’. Zabawa ugotowanym makaronem jest ciekawsza i taką właśnie wersję eksperymentu – który nazwać by można ,,makaronikami Buffona’’ – polecamy
Wykonujemy wiele prób, a na końcu dzielimy liczbę wszystkich przecięć przez liczbę wszystkich rzutów nitką makaronu. Ten stosunek powinien być bliski takiej wartości:
2L/(D)
Liczba pi to więc w przybliżeniu dwukrotność długości makaronika podzielona przez odległość między liniami i podzielona przez stosunek przecięć do rzutów! Następnym razem jedząc makaron spaghetti pomyślmy, że wciągamy w siebie doskonałe narzędzia dające wgląd w ,,świat matematyki i jej materialnych cieni’’!
Zdj. okładkowe: Dminasyan (CC BY-SA 4.0),
Zdj. w tekście (w kolejności): Dminasyan (CC BY-SA 4.0), OLCF at ORNL – ORNL Launches Summit Supercomputer (CC BY 2.0), Pbroks13Vector: KSmrq – Circle area Monte Carlo integration (CC BY 3.0), IvyMike2 (domena publiczna), Kevin Todora (CC BY-SA 4.0), McZusatz (CC BY-SA 3.0),
Źródła:
- https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski
- https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/66179-most-accurate-value-of-pi
- https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo
- https://pl.wikipedia.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Ulam